UNIDAD N°5 : Desarrollo del Tema

Ecuaciones de Segundo Grado

Definición:

Una  ecuación de segundo grado es de la forma  ax²+ b x + c=0; 
con a≠0.

Donde:

·         ax² es el término cuadrático o de segundo grado.

·         bx  es el término lineal o de primer grado

·         c es término independiente

• Resolución de ecuaciones completas:

            Para resolver una  ecuación de segundo grado completa, se utilizan distintos procedimientos:

1.      Factorizar el polinomio, es decir transformarlo en un producto igual a cero. Las raíces se obtienen  igualando a cero cada uno de los factores.

Ejemplo:

X²-6x+9=0  (trinomio cuadrado perfecto)

(x – 3)² =0 → x=3 dos veces raíz de la ecuación

2.      Aplicar una formula (previamente deducida), que permita hallar las  raíces en función de los coeficientes a, b y c.

                           

Para simplificar llamaremos discriminante al radicando.

Δ= b² - 4ac                                           Δ= delta

_naturaleza de las raíces:

·         Si  Δ > 0 las raíces son reales y distintas.

·         Si Δ = 0 las  raíces son reales y coincidentes.

·         Si Δ < 0 las raíces son complejas conjugadas

Ejemplo:

6x² - 7x + 2 = 0 

a=6,  b= -7,  c=2

_reemplazamos a, b y c en la formula, por sus valores

                              

x=(7±√(7^2-4.6.2))/2.6=(7±√(49-48))/12

               x=(7±√1)/12  =(7±1)/12→  x=8/12   → x=2/3  

                      

                                                                                  x=6/12   →x=1/2          

  

   

3.       Resolución gráfica de las ecuaciones de segundo grado

La ecuación de segundo grado

ax²+bx+c =0

tiene dos raíces x₁ y x₂.

Las raíces o ceros de la ecuación son los valores que anulan el trinomio, es decir,  valores de “x” para los cuales y=0.

Los puntos de la parábola para los cuales y=0, son los puntos de intersección con el eje “x”.

La abcisa de cada uno de esos puntos es una raíz de la ecuación. Los puntos de intersección de la parábola con el eje “x” son:  p(x1, 0) y q(x2, 0)

En  consecuencia, para resolver gráficamente una ecuación de segundo grado, se construye la parábola y se determinan los p casosuntos de intersección con el eje “x”. Las abscisas  de dichos puntos son las raíces de la ecuación.

ACTIVIDAD: Hallar por medio de la formula cuadrática, las raíces de la siguiente ecuación:

X² + 2x - 3= 0 

• Ecuaciones Incompletas:

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando falta el término lineal o el término independiente.

Es evidente que no puede faltar el término cuadrático, pues en ese caso no seria una ecuación de segundo grado.

_consideremos los siguientes casos:

• b=0 y c=0 entonces ax²=0 y x=0
• b=0 y c≠o entonces ax²+c=0 y x=±√-c/a
• b≠o y c=0 entonces ax²+bx=0 y x₁=0 y x₂=-b/a

Actividad: Resolver

• x²-1=0
• 2x²+x=0